Cuantificador universal y proposiciones universales en lógica de predicados

En lógica de predicados, a veces también llamada lógica cuantificacional, es posible analizar la estructura interna de las proposiciones, lo que no resulta realizable en la lógica proposicional.

Vale decir que para la lógica proposicional la expresión "todo alemán es europeo" sólo puede simbolizarse para su análisis con una letra proposicional, digamos "p", sin poder estudiar su estructura interna.

La lógica de predicados permite analizar y diferenciar individuos de propiedades. En el caso de la oración superior, es típicamente lo que en lógica de predicados se denomina proposición universal.

Las proposiciones universales se pueden identificar en las oraciones (nótese que diferenciamos la oración de su estructura) porque suelen (cuidado: esto no ocurre siempre) tener palabras como "todos", "todo", "ningún", "cualquier", "nada", "nadie" de manera que su significado señale que se trata de una oración en la que se está predicando algo sobre un potencial conjunto.

La palabra "todos" y sus equivalentes lógicas expresan el cuantificador universal. Es interesante apreciar que el cuantificador tiene un significado lógico definido, lo que puede apreciarse comparando ciertas oraciones universales con otras que no lo son.

Pero primero intentemos explicar tal significado: el cuantificador señala que se está haciendo una descripción de un conjunto dado cuyos elementos son potencialmente infinitos. Por ejemplo, si se afirma "Todos los cuervos son negros", esta expresión que cuya forma lógica es universal pura o ireestricta, carece de restricción o delimitación alguna en cuanto a su ámbito de predicación. O sea, significa que si hay un cuervo en un momento y en un lugar determinado, será negro.

Nótese que al ser una afirmación irrestricta se predica respecto de cualquier momento posible, por lo que toda afirmación con un cuantificador universal empírica (como la de los cuervos) es inverificable. Y también que alude a un conjunto potencial, porque no afirma existencia, por lo que simboliza como un condicional y esto implica también que puede ser un enunciado verdadero si no hay cuervos.

Sin embargo hay otras expresiones, denominadas generalizaciones accidentales, en las que la palabra "todos" tiene un sentido diferente, como en "todos los botones de mi camisa son negros", en la que no tenemos la predicación sobre un conjunto potencialmente infinito, sino que se describen ciertas características de un objeto situado espaciotemporalmente.

Cabe recordar que así como para la lógica un predicado lógico puede ser diferente de un predicado gramatical, lo mismo sucede entre la forma gramatical y la forma lógica.

Una proposición universal puede aparecer negada, con una negación interna. Hemos de diferenciar entonces entre una negación interna a la proposición y una negación de la proposición ("No es verdad que todos los cuervos son negros" o "No todos los cuervos son negros", que es lo mismo dicho de otro modo).

"Ningún cuervo es negro" es una proposición universal que resulta de la mencionada negación interna (como puede verse en la simbolización de abajo), lo mismo que "Ningún cuervo es no negro" (naturalmente estas dos últimas son incompatibles, no pueden ser ambas verdaderas, pero este es otro asunto), ya que estas expresiones significan "para todo x, si x es un cuervo...".

En la lógica clásica se denominaba "proposiciones categóricas" a las proposiciones generales en las que hay más de una letra de predicado afectada por un cuantificador. La que tiene la forma (x) (Cx → Nx), que se lee "para todo x, si x es cuervo, entonces es negro" se denomina proposición universal afirmativa. Aclaremos que esta es una de las formas de notación de la lógica de predicados.

Y por otra parte la forma simbolizada (x) (Cx → -B) es la correspondiente a "Ningún cuervo es blanco", que se lee "para todo x, si x es cuervo, entonces no es blanco", en la que el signo "-" (el menos de la matemática) simboliza la negación, y se denomina proposición universal negativa.