La demostración directa y la demostración por el absurdo

En términos más o menos generalizadamente aceptados, podemos definir una demostración como una sucesión de fórmulas en la que una de ellas es consecuencia lógica de otras que fungen como principios. Una fórmula se demuestra si se ofrece la sucesión de fórmulas que permiten arribar deductivamente a ella.
Ahora bien, las demostraciones pueden ser directas o por el absurdo.
La demostración directa consiste en construir un razonamiento que conduzca al teorema como conclusión, o sea se demuestra una afirmación o teorema expresando las premisas que conducen directamente a ella. Por ejemplo, si se quiere demostrar q y supongamos que tenemos las premisas "p → q" (la flecha es la conectiva lógica llamada "condicional")y "p", ello se expresa así:

p → q
p
___
q

La demostración por el absurdo es diferente. Recordemos que si q se deduce de "p → q" y "p", ya está implícita en ese conjunto de premisas de la misma manera que "Juan es mortal" ya está contenido en "todos los humanos son mortales" en conjunción con "Juan es humano".
Si ya está contenido p en un conjunto de premisas pero no se ha encontrado exactamente el modo de demostrarlo (supongamos que hay un conjunto de premisas A, B, C, D, E, F, G, H, I, J pero nadie ha descubierto que las que permiten deducir p son A,B y C), es posible demostrar p de otro modo.
Si p se deduce de A, B, C, entonces si se introduce como otra premisa más -p ("no p", la negación de p) seguramente hay una contradicción (existe en el sistema deductivo p y también -p, su negación), sea que se logre deducir por un lado p y por otro -p, o cualquier otra contradicción, pues si hay una contradicción de ella se puede deducir cualquier expresión del sistema: A, -A, B, -B, etc.
La demostración por el absurdo, en este caso, consiste en que si se encuentra (se halla el modo de demostrar) una contradicción, se prueba que p se deduce del conjunto de premisas (del conjunto total, aunque no se sepa que exactamente deriva del conjunto de premisas A,B,C, pero se sabe que es una consecuencia de ellas, un teorema), pues si no hubiese estado contenida o implícita no se habría llegado a una contradicción al incorporar su negación (suponiendo que el resto de las premisas por sí mismas no den lugar a una contradicción).
Un ejemplo claro de la demostración por el absurdo, explicado paso a paso, puede verse aquí respecto de la prueba realizada por Euclides de Alejandría de que hay infinitos números primos.