Cuándo una oración tiene valor de verdad, cuando es verdadera o falsa

Hemos ya hablado de los valores de verdad como conceptos semánticos que pertenecen a ciertas oraciones, pero hay que tener en cuenta que no toda oración posee un valor de verdad, o sea, no toda oración es o bien verdadera o bien falsa.
En este post estamos asumiendo una noción de verdad como correspondencia, como lo hace la mayor parte de la lógica y asumimos una bivalencia respecto de los valores de verdad: existen sólo dos valores de verdad (verdadero y falso).

El lenguaje puede ser utilizado con diferentes finalidades o propósitos, que han sido tipificados en lo que se conoce como las funciones del lenguaje.
Las funciones predominantes del lenguaje, las principales finalidades perseguidas al hablar son la expresiva, la directiva y la descriptiva o informativa.
Estas funciones del lenguaje tipificadas son casos ideales, pues en las situaciones concretas suelen estar combinadas, si bien siempre hay una función predominante.
Cuando el lenguaje es empleado directiva o expresivamente carece de valor de verdad.
La función directiva se encuentra cuando se profiere una oración con el objetivo de que una o más personas hagan o dejen de hacer algo, busca promover una conducta en otros. Por ejemplo, una maestra que les dice a sus alumnos "hagan silencio" o que les formula la pregunta "¿pueden callarse?" habla con la finalidad de que los alumnos dejen de hablar. Está empleando el lenguaje con una finalidad directiva.
Cuando alguien tiene la meta de expresar sentimientos, emociones o un estado de ánimo, emplea la función expresiva del lenguaje. Por ejemplo si dice "¡gol!", "¡bravo!" o "qué suerte que me llamaste", expresa sentimientos o emociones.
Pero cuando una oración es pronunciada con una finalidad descriptiva (también llamada función informativa del lenguaje), esto es, cuando se habla con la intención de describir una situación o un estado de cosas, entonces esa oración posee valor de verdad.
Oraciones como "el cartapacio está en el cajón de la derecha", "la inflación del país es del 30% anual" o "Napoleón Bonaparte murió en 1912" son todas oraciones cuya función predominante es la descriptiva, por lo que cada una de ella es verdadera o es falsa, lo que no ocurre con "¿pueden callarse?" ni con "¡bravo!"
La lógica estándar estudia el lenguaje con valor de verdad, oraciones que son o bien verdaderas o bien falsas, a las que la lógica proposicional llama proposiciones.

La demostración directa y la demostración por el absurdo

En términos más o menos generalizadamente aceptados, podemos definir una demostración como una sucesión de fórmulas en la que una de ellas es consecuencia lógica de otras que fungen como principios. Una fórmula se demuestra si se ofrece la sucesión de fórmulas que permiten arribar deductivamente a ella.
Ahora bien, las demostraciones pueden ser directas o por el absurdo.
La demostración directa consiste en construir un razonamiento que conduzca al teorema como conclusión, o sea se demuestra una afirmación o teorema expresando las premisas que conducen directamente a ella. Por ejemplo, si se quiere demostrar q y supongamos que tenemos las premisas "p → q" (la flecha es la conectiva lógica llamada "condicional")y "p", ello se expresa así:

p → q
p
___
q

La demostración por el absurdo es diferente. Recordemos que si q se deduce de "p → q" y "p", ya está implícita en ese conjunto de premisas de la misma manera que "Juan es mortal" ya está contenido en "todos los humanos son mortales" en conjunción con "Juan es humano".
Si ya está contenido p en un conjunto de premisas pero no se ha encontrado exactamente el modo de demostrarlo (supongamos que hay un conjunto de premisas A, B, C, D, E, F, G, H, I, J pero nadie ha descubierto que las que permiten deducir p son A,B y C), es posible demostrar p de otro modo.
Si p se deduce de A, B, C, entonces si se introduce como otra premisa más -p ("no p", la negación de p) seguramente hay una contradicción (existe en el sistema deductivo p y también -p, su negación), sea que se logre deducir por un lado p y por otro -p, o cualquier otra contradicción, pues si hay una contradicción de ella se puede deducir cualquier expresión del sistema: A, -A, B, -B, etc.
La demostración por el absurdo, en este caso, consiste en que si se encuentra (se halla el modo de demostrar) una contradicción, se prueba que p se deduce del conjunto de premisas (del conjunto total, aunque no se sepa que exactamente deriva del conjunto de premisas A,B,C, pero se sabe que es una consecuencia de ellas, un teorema), pues si no hubiese estado contenida o implícita no se habría llegado a una contradicción al incorporar su negación (suponiendo que el resto de las premisas por sí mismas no den lugar a una contradicción).
Un ejemplo claro de la demostración por el absurdo, explicado paso a paso, puede verse aquí respecto de la prueba realizada por Euclides de Alejandría de que hay infinitos números primos.