La relación lógica de subcontrariedad, respecto de la lógica proposicional, puede ser definida del siguiente modo:
Dos formas proposicionales o fórmulas son subcontrarias si no puede ocurrir que ambas sean falsas al mismo tiempo, aunque sí verdaderas.
O con esta otra definición:
Dos formas proposicionales son subcontrarias si no son ambas falsas en ninguno de los casos de sustitución de valores de verdad de las proposiciones atómicas que las integran.
¿Qué se gana y qué se pierde al adoptar una u otra definición? Esa es una interesante pregunta que intentaremos responder en otro post.
Por ejemplo, "p o q" y "no p y q" guardan esa relación, como veremos en este auténtico ejemplo de la relación lógica de subcontrariedad:
"Vienes a mi casa o vamos a la tuya" y "No es cierto que vienes a mi casa y vamos a la tuya" cumplen esta singular relación. En la primera oración nos encontramos con una proposición que es una disyunción inclusiva, entre dos proposiciones simples o también denominadas atómicas. La segunda oración es una negación. Si se simboliza mediante una de las más difundidas formas de expresar gráficamente las conectivas de la lógica proposicional, quedarían así las dos proposiciones moleculares:
p v q - (p . q)
que se leen como figura entre las comillas en la oración que comienza con "Por ejemplo,". Si se comparan las tablas de verdad de las dos fórmulas, se advierte que bajo ninguno de los casos de sustitución de valores de verdad de las proposiciones simples ocurre que ambas expresiones sean falsas (aunque hay un caso en el que ambas son verdaderas (será verdadero para ambas fórmulas en el resultado de la tabla de verdad en una misma fila).
Haz la tabla de verdad, practicad hijo.
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Contrariedad lógica: dos tipos
La contrariedad es entendida en lógica de más de un modo. En general, esta relación se emplea como sinónima de incompatiblidad y es una de las más conocidas relaciones lógicas.
En lógica proposicional y en la lógica clásica se entiende la incompatibilidad como una relación entre dos formas proposicionales tal que no pueden ser ambas simultáneamente verdaderas.
Por ejemplo, p y q por un lado y p y -q por otro son contrarias o incompatibles, pues sean tanto p como q verdaderas o falsas no habrá nunca un caso de sustitución de valores de verdad en que ambas sean verdaderas, como puede probarse mostrando sus tablas de verdad.
También se puede entender la contrariedad a partir del significado de las oraciones. Por ejemplo, si tenemos las expresiones "hoy es martes" y "hoy es jueves" ambas no pueden ser verdaderas simultáneamente, en virtud de su significado. Habrá días en que alguna es verdadera, pero la otra no.
El sábado serán ambas falsas, por lo que en ese día son ambas falsas simultáneamente.
Sin embargo, para hablar de la falsedad simultánea de las dos formas proposicionales de arriba habría que decir que lo son en el caso de que tanto p como q sean falsas.
La cuestión no es trivial, porque muchos escritores de lógica olvidan a menudo (e incluso afirman lo contrario declarando que es "puramente sintáctica") que la lógica tiene significado, comenzando por sus conectivas.
En lógica proposicional y en la lógica clásica se entiende la incompatibilidad como una relación entre dos formas proposicionales tal que no pueden ser ambas simultáneamente verdaderas.
Por ejemplo, p y q por un lado y p y -q por otro son contrarias o incompatibles, pues sean tanto p como q verdaderas o falsas no habrá nunca un caso de sustitución de valores de verdad en que ambas sean verdaderas, como puede probarse mostrando sus tablas de verdad.
También se puede entender la contrariedad a partir del significado de las oraciones. Por ejemplo, si tenemos las expresiones "hoy es martes" y "hoy es jueves" ambas no pueden ser verdaderas simultáneamente, en virtud de su significado. Habrá días en que alguna es verdadera, pero la otra no.
El sábado serán ambas falsas, por lo que en ese día son ambas falsas simultáneamente.
Sin embargo, para hablar de la falsedad simultánea de las dos formas proposicionales de arriba habría que decir que lo son en el caso de que tanto p como q sean falsas.
La cuestión no es trivial, porque muchos escritores de lógica olvidan a menudo (e incluso afirman lo contrario declarando que es "puramente sintáctica") que la lógica tiene significado, comenzando por sus conectivas.
