Cuándo una oración tiene valor de verdad, cuando es verdadera o falsa

Hemos ya hablado de los valores de verdad como conceptos semánticos que pertenecen a ciertas oraciones, pero hay que tener en cuenta que no toda oración posee un valor de verdad, o sea, no toda oración es o bien verdadera o bien falsa.
En este post estamos asumiendo una noción de verdad como correspondencia, como lo hace la mayor parte de la lógica y asumimos una bivalencia respecto de los valores de verdad: existen sólo dos valores de verdad (verdadero y falso).

El lenguaje puede ser utilizado con diferentes finalidades o propósitos, que han sido tipificados en lo que se conoce como las funciones del lenguaje.
Las funciones predominantes del lenguaje, las principales finalidades perseguidas al hablar son la expresiva, la directiva y la descriptiva o informativa.
Estas funciones del lenguaje tipificadas son casos ideales, pues en las situaciones concretas suelen estar combinadas, si bien siempre hay una función predominante.
Cuando el lenguaje es empleado directiva o expresivamente carece de valor de verdad.
La función directiva se encuentra cuando se profiere una oración con el objetivo de que una o más personas hagan o dejen de hacer algo, busca promover una conducta en otros. Por ejemplo, una maestra que les dice a sus alumnos "hagan silencio" o que les formula la pregunta "¿pueden callarse?" habla con la finalidad de que los alumnos dejen de hablar. Está empleando el lenguaje con una finalidad directiva.
Cuando alguien tiene la meta de expresar sentimientos, emociones o un estado de ánimo, emplea la función expresiva del lenguaje. Por ejemplo si dice "¡gol!", "¡bravo!" o "qué suerte que me llamaste", expresa sentimientos o emociones.
Pero cuando una oración es pronunciada con una finalidad descriptiva (también llamada función informativa del lenguaje), esto es, cuando se habla con la intención de describir una situación o un estado de cosas, entonces esa oración posee valor de verdad.
Oraciones como "el cartapacio está en el cajón de la derecha", "la inflación del país es del 30% anual" o "Napoleón Bonaparte murió en 1912" son todas oraciones cuya función predominante es la descriptiva, por lo que cada una de ella es verdadera o es falsa, lo que no ocurre con "¿pueden callarse?" ni con "¡bravo!"
La lógica estándar estudia el lenguaje con valor de verdad, oraciones que son o bien verdaderas o bien falsas, a las que la lógica proposicional llama proposiciones.

Ejemplo de la relación de subcontrariedad

La relación lógica de subcontrariedad, respecto de la lógica proposicional, puede ser definida del siguiente modo:

Dos formas proposicionales o fórmulas son subcontrarias si no puede ocurrir que ambas sean falsas al mismo tiempo, aunque sí verdaderas.
O con esta otra definición:
Dos formas proposicionales son subcontrarias si no son ambas falsas en ninguno de los casos de sustitución de valores de verdad de las proposiciones atómicas que las integran.
¿Qué se gana y qué se pierde al adoptar una u otra definición? Esa es una interesante pregunta que intentaremos responder en otro post.

Por ejemplo, "p o q" y "no p y q" guardan esa relación, como veremos en este auténtico ejemplo de la relación lógica de subcontrariedad:

"Vienes a mi casa o vamos a la tuya" y "No es cierto que vienes a mi casa y vamos a la tuya" cumplen esta singular relación. En la primera oración nos encontramos con una proposición que es una disyunción inclusiva, entre dos proposiciones simples o también denominadas atómicas. La segunda oración es una negación. Si se simboliza mediante una de las más difundidas formas de expresar gráficamente las conectivas de la lógica proposicional, quedarían así las dos proposiciones moleculares:
p v q                - (p . q)
que se leen como figura entre las comillas en la oración que comienza con "Por ejemplo,". Si se comparan las tablas de verdad de las dos fórmulas, se advierte que bajo ninguno de los casos de sustitución de valores de verdad de las proposiciones simples ocurre que ambas expresiones sean falsas (aunque hay un caso en el que ambas son verdaderas (será verdadero para ambas fórmulas en el resultado de la tabla de verdad en una misma fila).
Haz la tabla de verdad, practicad hijo.

Las formas proposicionales como expresiones veritativo funcionales

Analizaremos cómo las formas proposicionales son fórmulas veritativo funcionales, o sea, de qué modo son susceptibles de adoptar uno u otro valor de verdad según las proposiciones simples que contengan sean verdaderas o falsas y según el significado de las conectivas que las unen.
Dentro de la lógica simbólica, que se vale de símbolos para analizar razonamientos y sus partes, se encuentra la lógica proposicional.
La lógica proposicional simboliza, generalmente con letras minúsculas del alfabeto (p, q, r, s, por ejemplo) las denominadas proposiciones simples o atómicas que constituyen las partes de ciertas oraciones más complejas.
Por ejemplo, en la oración "llueve y hace frío" nos encontramos con dos proposiciones simples ("llueve" es una y la otra "hace frío") que se encuentran unidas por una conectiva lógica llamada conjunción.
En este caso, al simbolizar la oración a partir de sus proposiciones componentes y el modo cómo se unen obtenemos una expresión que se denomina forma proposicional, y a veces algo equívocamente forma de enunciado.
En la nomenclatura habitual de la lógica proposicional se simbolizaría
p . q (que se lle " p y q"), siendo el puntito el símbolo de la mencionada conjunción.
Naturalmente, una forma proposicional puede ser más compleja, como la que resultaría de simbolizar las proposiciones atómicas de "si no llueve ni hace frío voy a tu casa o al cine", por ejemplo. Pero dejaremos para otra ocasión la simbolización para intentar clarificar el significado y alcance de una forma proposicional.
Se dice que éstas son expresiones "veritativo funcionales", o que una forma proposicional es funcion de verdad de las proposiciones simples o atómicas que contiene y del significado de las conectivas lógicas que las vinculan.
Esto puede parecer complejo, pero no lo es realmente. Que una cierta forma proposicional es tal mencionada cosa significa que su valor de verdad (que "llueve y hace frío" sea una expresión verdadera o falsa dependerá de dos cosas: si sus elementos componentes son verdaderos o falsos (p y q respectivamente) y del significado de las conectivas que las vinculan.
El significado de la conjunción es que es verdadera únicamente cuando las dos partes que une son verdaderas.
Por ejemplo, la oración "el la Luna es un satélite y gira alrededor de marte" es una oración falsa, porque "la Luna es un satélite" es verdadera (sería p) pero "la Luna gira alrededor de Marte" es una proposición simple falsa, por lo que la conjunción es falsa. "una silla es un mueble y tiene patas" es una oración verdadera.
Entonces dada cualquier forma proposicional de la forma "p . q", ella sólo será verdadera cuando p, sea lo que fuere que simbolice, es verdadera y q también. En cualquier otro caso será falsa (Verdadero/Falso; Falso/Verdadero; Falso/Falso).
Diferentes formas proposicionales, con diferente estructura interna y diferentes conectivas tendrán distintos modos de poder ser verdaderas o falsas, dependiendo de los dos aspectos mencionados, pero una vez determinado si p, q, r, etc. son verdaderas o falsas y una vez advertidas las conectivas que las unen (cuyo significados los lógicos conocen y los estudiantes deben asimilar), queda determinado por completo el valor de verdad de la expresión total.

Componentes o partes de un razonamiento

Los razonamientos pueden ser analizados en su estructura. Desde el punto de vista formal, un razonamiento solo tiene dos componentes o elementos: premisas y conclusión.
En general en lógica se habla de "las premisas", pero un razonamiento puede tener una única premisa.
Naturalmente, la conclusión en un razonamiento siempre es una sola.
Desde una perspectiva no formal, se puede notar que los razonamientos formulados en los lenguajes naturales contienen ciertas expresiones que cumplen un rol en los mismos.
Se trata de lo que algunos denominan "expresiones derivativas", o "expresiones indicadoras" cuyo significado es señalar el papel de algunas proposiciones en el argumento.
Por ejemplo, si venimos diciendo algo -aduciendo ciertas razones- y luego decimos "por lo tanto lo que usted dice no es cierto", la frase "por lo tanto" es una expresión derivativa, que se conoce como "indicador de conclusión".
Un típico indicador de premisas es "porque" expresado luego de la conclusión.

Lógica, pensamientos y razonamientos

Todavía hay escritos y libros que asimilan la lógica al pensamiento, o sea a aquellos procesos mentales que ocurren en las mentes.
En efecto, antiguamente se entendía que, si bien la lógica estudiaba el modo como se relacionaban oraciones o proposiciones en diferentes tipos de argumentos, el razonamiento mismo era identificable con el pensamiento.
Así, todavía circulan definiciones que caracterizan la lógica como "ciencia del pensar".
Esto es incorrecto, desde hace ya muchos años, la lógica moderna estudia específicamente el lenguaje -lenguajes naturales, lenguajes formalizados- independientemente de cualquier hipótesis psicológica acerca de la naturaleza de procesos mentales.
Nótese que una hipótesis psicológica es de carácter empírico, en tanto que la lógica es una ciencia formal.
Asimismo, el lenguaje es objetivo en tanto exteriorizado de las mentes, lo que facilita su tratamiento formal.

Dos sentidos de razonamiento en lógica

Es importante desambiguar dos sentidos de "razonamiento" que se emplean dentro de la lógica en diferente bibilografía sobre el tema.

Tomando cualquier definición, por ejemplo la siguiente:

Razonamiento es un argumento en el que se afirma algo (conocido como conclusión) a partir de una o más proposiciones, que reciben el nombre de premisas.

Aquí la expresión "a partir de" es ambigua, malamente ambigua, pues no alcanza a captar el significado del término razonamiento.

Sustituyámosla por la siguiente definición 2: "Un razonamiento es un argumento en el que se afirma una proposición, llamada conclusión, a partir de otra u otras que se aducen para darle fundamento".

Esta definición está mejor. Podemos llamarla definición amplia o en sentido amplio de "razonamiento". ¿Por qué?

Porque para algunos lógicos y expertos de la lógica los auténticos razonamientos son los de la lógica deductiva. En tal caso, un argumento en el que las premisas "se aducen" pero infructuosamente para justificar o fundamentar (completamente) la conclusión no será considerado un razonamiento.

Para estos casos, quienes mantienen este criterio restrictivo o fuerte de razonamiento tiener reservada la palabra "inferencia".

En consecuencia, para ellos un argumento inductivo es una inferencia, puiendo discutirse si existe algún valor en el pasaje inductivo de premisas a conclusión.

Si adoptamos este criterio, entonces debemos admitir que un razonamiento es "un argumento en el que se afirma una proposición, llamada conclusión, a partir de otra u otras que le dan fundamento".

Qué es razonamiento en lógica

Hay varias maneras de definir un razonamiento.
Pero antes debemos recordar que la lógica no se ocupa de estudiar los objetos y fenómenos del mundo, sini el lenguaje que se utiliza para describirlos.
En este sentido, es una disciplina metalingüística, pues utiliza un lenguaje (el propio, simbolizado o no) para referirse a otro lenguaje (generalmente un lenguaje natural como el español).
Definimos razonamiento como una secuencia de afirmaciones o proposiciones en la que se afirma una (llamada conclusión) a partir de otra u otras que se ofrecen como fundamento (llamadas premisas).
Otra definición posible es que un razonamiento es un argumento en el que se pretende que una afirmación esté fundada en otra u otras.
Un razonamiento es un encadenamiento de proposiciones (oraciones afirmativas) en el que al menos una premisa se formula para justificar o fundamenta una conclusión.
Los componentes formales de todo razonamiento son premisas y conclusión.

Qué es una proposición en lógica

Una proposición es entendida generalmente en el contexto de la lógica como una expresión lingüística cuya función es informativa.
Esto es, una proposición es una oración que afirma algo. Debemos entender "afirma" en el sentido de que dice algo de algo, sea que diga lo que es "aquí hay una pelota de rugby" o que diga lo que no hay "aquí no hay una bicicleta". En ambos casos se afirma algo sobre la realidad, sobre el mundo.
La proposición no se identifica con la oración sino con su contenido descriptivo o su carga informativa, pudiendo haber diferentes oraciones que sean la misma proposición desde el punto de vista lógico.
La presencia de esta dimensión semántica o relacional implica, entonces, que la oración es verdadera o es falsa, o sea, que tiene valor de verdad, lo que no ocurre con oraciones empleadas con funciones directivas o expresivas.
A veces a las proposiciones se las llama -algo equívocamente- enunciados, precisamente por ser una de sus características poseer valor de verdad, pero dentro de la lógica el término más comúnmente usado es "proposición".
Quien esté aprendiendo lógica deberá saber que el hecho de que una proposición tenga valor de verdad no singifica que lo conozcamos, ni tampoco que lo lleguemos alguna vez a conocer.
La propiedad de ser verdadera o ser falsa de una proposición es de carácter semántico y depende de la relación que establece la oración con aquello que designa.

Diferencia entre verdad y validez

En lógica simbólica, las nociones de verdad y de validez son claramente diferentes.
La verdad es una noción semática que alude a una relación entre una expresión y un estado de cosas.
Si tomamos una forma proposicional, como ésta no posee significado semántico referido al mundo -aunque sí significado lógico-, la verdad se refiere a posibilidades, a la posibilidad de ser verdadera en interpretaciones eventuales.
Por ejemplo, p y q, será verdadera en toda interpretación donde p sea verdadera y q también sea verdadera, y sólo en ese caso.
Otra forma de decirlo es que esa forma proposicional será verdadera en todo mundo posible donde p por un lado y q por otro sean verdaderas.
Una tautología, entonces, es una expresión verdadera en todo mundo posible, lo que significa que es imposible que haya una interpretación (bajo el principio de no contradicción) en la que sea falsa.
La validez en cambio es una propiedad formal de una forma o estructura de razonamiento, definida como la imposibilidad de que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa para cualquier interpretación posible bajo el principio de no contradicción.

¿Qué son los valores de verdad?

La expresión "tener valor de verdad" no debe ser confundida con "ser verdadero".
Una oración descriptiva, que es formulada en lenguaje informativo para representar o describir algo posee valor de verdad.
Los valores de verdad dos dos: verdadero y falso. Estos se basan en el principio lógico de no contradicción, que establece la imposibilidad de p y -p al mismo tiempo.
Por ejemplo, es imposible que usted esté leyendo y no esté leyendo esto al mismo tiempo.
Los valores de verdad son algo así como evaluaciones que hacemos de las oraciones en virtud de una relación, por lo que son conceptos semáticos.
Hay una relación porque cuando describimos algo ("esta mesa es de madera", por ejemplo) determinamos dos dominios o ámbitos diferentes: el ámbito del lenguaje y el de aquello que designa el lenguaje.
La semántica estudia precisamente la relación que se presenta entre el lenguaje y aquello que describe.
Entonces, que una oración tenga uno u otro valor de verdad depende de la relación entre ella y aquello que designa o refiere. La oración "esta mesa es de madera" será verdadera si la mesa, el objeto que designa, es realmente de madera.
Pero si digo esto mismo respecto de una mesa que es de hierro, entonces la oración es falsa, no hay correspondencia entre la oración y aquello que designa.
Dijimos que el hecho de que una oración tenga uno u otro valor de verdad depende de la relación semántica establecida, pero eso no es lo mismo que decir "que una oración tenga valor de verdad depende de la relación con aquello que designa". Pues la oración, si es descriptiva, tiene valor de verdad independientemente de si se cumple una u otra relación.
Y tiene valor de verdad independientemente de si lo sabemos.
Y tiene valor de verdad independientemente de si lo podemos llegar a saber o no.

Significado de las conectivas lógicas

Las conectivas de la lógica son operadores de proposiciones, que precisamente por afectarlas de manera diferente poseen un significado diferenciado.
Si bien la lógica es una disciplina o ciencia formal, por ejemplo un cuantificador de la lógica de predicados o una conectiva lógica como la conjunción poseen significado.
Por ejemplo, si se tiene p y q, estas letras proposicionales representan proposiciones que están conectadas por la expresión del español "y", y esa conectiva se llama conjunción.
¿Cuál es su significado? Esta conectiva afirma la ocurrencia simultánea de aquellas dos partes que une. O sea, significa que se cumplen p y q al mismo tiempo, y no otra cosa.
Por ejemplo, si decimos "es verano y todavía no hace calor", esa expresión se simboliza en lógica proposicional como señalamos anteriormente.
En este caso, la conectiva referida por la palabra "y" señala que ambas cosas ocurren simultáneamente.
Para que esta oración tenga el valor de verdad "verdadero" tiene que ocurrir sí o sí que sea verdadera "es verano" y sea verdadera "todavía no hace calor". En cualquier otro caso la oración será falsa.
Esto capta precisamente el significado de la conectiva, ésta señala que al relacionar ambas proposiciones atómicas de ese modo, sólo puede ser verdadera la expresión en el caso señalado.

Tablas de verdad ¿qué son?

El método de las tablas de verdad es un procedimiento que se emplea en lógica proposicional para exhibir todos los posibles valores de verdad que puede adoptar una forma proposicional.
Como los valores de verdad son dos, cada elemento constitutivo de una forma proposicional tendrá un valor de verdad: las letras proposicionales y las conectivas, y bajo la conectiva principal aparecerá el valor para cada caso de sustitución.
El caso de sustitución es una única asignación de valores de verdad para las letras proposicionales. Por ejemplo, supóngase que se tiene p y q. En esta situación, un caso de sustitución será cuando p es verdadera y q verdadera, otro caso de sustitución es cuando p es falsa pero q verdadera, y así con las cuatro posibilidades.
El resultado de la tabla de verdad contará, entonces con el total de las posibilidades expresadas en cuatro filas, cuyo resultado para cada fila estará bajo la conectiva principal, que en este caso es la "conjunción" y dependerá de la tabla o el significado de la propia conectiva.

Método del condicional asociado

En lógica proposicional, el método del condicional asociado es una prueba de validez.
Esto es, un procedimiento para determinar si una forma proposicional es válida o no lo es.
Este método es mecánico y se basa en el método de las tablas de verdad, que consiste en la explicitación de todos los posibles valores de verdad que puede adoptar una forma proposicional de acuerdo con el significado de las conectivas que en ella aparezcan y los posibles valores de las letras proposicionales.
El condicional asociado consiste en realizar la tabla de verdad de un condicional que tenga como consecuente la conclusión del razonamiento -o presunto razonamiento- y como antecedente la conjunción de las premisas.
Sencillamente, si se obtiene una tautología al realizar la tabla de verdad de un condicional asociado a un razonamiento se demuestra la validez de esa forma de razonamiento.