En lógica de predicados, a veces también llamada lógica cuantificacional, es posible analizar la estructura interna de las proposiciones, lo que no resulta realizable en la lógica proposicional.
Vale decir que para la lógica proposicional la expresión "todo alemán es europeo" sólo puede simbolizarse para su análisis con una letra proposicional, digamos "p", sin poder estudiar su estructura interna.
La lógica de predicados permite analizar y diferenciar individuos de propiedades. En el caso de la oración superior, es típicamente lo que en lógica de predicados se denomina proposición universal.
Las proposiciones universales se pueden identificar en las oraciones (nótese que diferenciamos la oración de su estructura) porque suelen (cuidado: esto no ocurre siempre) tener palabras como "todos", "todo", "ningún", "cualquier", "nada", "nadie" de manera que su significado señale que se trata de una oración en la que se está predicando algo sobre un potencial conjunto.
La palabra "todos" y sus equivalentes lógicas expresan el cuantificador universal. Es interesante apreciar que el cuantificador tiene un significado lógico definido, lo que puede apreciarse comparando ciertas oraciones universales con otras que no lo son.
Pero primero intentemos explicar tal significado: el cuantificador señala que se está haciendo una descripción de un conjunto dado cuyos elementos son potencialmente infinitos. Por ejemplo, si se afirma "Todos los cuervos son negros", esta expresión que cuya forma lógica es universal pura o ireestricta, carece de restricción o delimitación alguna en cuanto a su ámbito de predicación. O sea, significa que si hay un cuervo en un momento y en un lugar determinado, será negro.
Nótese que al ser una afirmación irrestricta se predica respecto de cualquier momento posible, por lo que toda afirmación con un cuantificador universal empírica (como la de los cuervos) es inverificable. Y también que alude a un conjunto potencial, porque no afirma existencia, por lo que simboliza como un condicional y esto implica también que puede ser un enunciado verdadero si no hay cuervos.
Sin embargo hay otras expresiones, denominadas generalizaciones accidentales, en las que la palabra "todos" tiene un sentido diferente, como en "todos los botones de mi camisa son negros", en la que no tenemos la predicación sobre un conjunto potencialmente infinito, sino que se describen ciertas características de un objeto situado espaciotemporalmente.
Cabe recordar que así como para la lógica un predicado lógico puede ser diferente de un predicado gramatical, lo mismo sucede entre la forma gramatical y la forma lógica.
Una proposición universal puede aparecer negada, con una negación interna. Hemos de diferenciar entonces entre una negación interna a la proposición y una negación de la proposición ("No es verdad que todos los cuervos son negros" o "No todos los cuervos son negros", que es lo mismo dicho de otro modo).
"Ningún cuervo es negro" es una proposición universal que resulta de la mencionada negación interna (como puede verse en la simbolización de abajo), lo mismo que "Ningún cuervo es no negro" (naturalmente estas dos últimas son incompatibles, no pueden ser ambas verdaderas, pero este es otro asunto), ya que estas expresiones significan "para todo x, si x es un cuervo...".
En la lógica clásica se denominaba "proposiciones categóricas" a las proposiciones generales en las que hay más de una letra de predicado afectada por un cuantificador. La que tiene la forma (x) (Cx → Nx), que se lee "para todo x, si x es cuervo, entonces es negro" se denomina proposición universal afirmativa. Aclaremos que esta es una de las formas de notación de la lógica de predicados.
Y por otra parte la forma simbolizada (x) (Cx → -B) es la correspondiente a "Ningún cuervo es blanco", que se lee "para todo x, si x es cuervo, entonces no es blanco", en la que el signo "-" (el menos de la matemática) simboliza la negación, y se denomina proposición universal negativa.
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Contrariedad lógica: dos tipos
La contrariedad es entendida en lógica de más de un modo. En general, esta relación se emplea como sinónima de incompatiblidad y es una de las más conocidas relaciones lógicas.
En lógica proposicional y en la lógica clásica se entiende la incompatibilidad como una relación entre dos formas proposicionales tal que no pueden ser ambas simultáneamente verdaderas.
Por ejemplo, p y q por un lado y p y -q por otro son contrarias o incompatibles, pues sean tanto p como q verdaderas o falsas no habrá nunca un caso de sustitución de valores de verdad en que ambas sean verdaderas, como puede probarse mostrando sus tablas de verdad.
También se puede entender la contrariedad a partir del significado de las oraciones. Por ejemplo, si tenemos las expresiones "hoy es martes" y "hoy es jueves" ambas no pueden ser verdaderas simultáneamente, en virtud de su significado. Habrá días en que alguna es verdadera, pero la otra no.
El sábado serán ambas falsas, por lo que en ese día son ambas falsas simultáneamente.
Sin embargo, para hablar de la falsedad simultánea de las dos formas proposicionales de arriba habría que decir que lo son en el caso de que tanto p como q sean falsas.
La cuestión no es trivial, porque muchos escritores de lógica olvidan a menudo (e incluso afirman lo contrario declarando que es "puramente sintáctica") que la lógica tiene significado, comenzando por sus conectivas.
En lógica proposicional y en la lógica clásica se entiende la incompatibilidad como una relación entre dos formas proposicionales tal que no pueden ser ambas simultáneamente verdaderas.
Por ejemplo, p y q por un lado y p y -q por otro son contrarias o incompatibles, pues sean tanto p como q verdaderas o falsas no habrá nunca un caso de sustitución de valores de verdad en que ambas sean verdaderas, como puede probarse mostrando sus tablas de verdad.
También se puede entender la contrariedad a partir del significado de las oraciones. Por ejemplo, si tenemos las expresiones "hoy es martes" y "hoy es jueves" ambas no pueden ser verdaderas simultáneamente, en virtud de su significado. Habrá días en que alguna es verdadera, pero la otra no.
El sábado serán ambas falsas, por lo que en ese día son ambas falsas simultáneamente.
Sin embargo, para hablar de la falsedad simultánea de las dos formas proposicionales de arriba habría que decir que lo son en el caso de que tanto p como q sean falsas.
La cuestión no es trivial, porque muchos escritores de lógica olvidan a menudo (e incluso afirman lo contrario declarando que es "puramente sintáctica") que la lógica tiene significado, comenzando por sus conectivas.
Componentes o partes de un razonamiento
Los razonamientos pueden ser analizados en su estructura. Desde el punto de vista formal, un razonamiento solo tiene dos componentes o elementos: premisas y conclusión.
En general en lógica se habla de "las premisas", pero un razonamiento puede tener una única premisa.
Naturalmente, la conclusión en un razonamiento siempre es una sola.
Desde una perspectiva no formal, se puede notar que los razonamientos formulados en los lenguajes naturales contienen ciertas expresiones que cumplen un rol en los mismos.
Se trata de lo que algunos denominan "expresiones derivativas", o "expresiones indicadoras" cuyo significado es señalar el papel de algunas proposiciones en el argumento.
Por ejemplo, si venimos diciendo algo -aduciendo ciertas razones- y luego decimos "por lo tanto lo que usted dice no es cierto", la frase "por lo tanto" es una expresión derivativa, que se conoce como "indicador de conclusión".
Un típico indicador de premisas es "porque" expresado luego de la conclusión.
En general en lógica se habla de "las premisas", pero un razonamiento puede tener una única premisa.
Naturalmente, la conclusión en un razonamiento siempre es una sola.
Desde una perspectiva no formal, se puede notar que los razonamientos formulados en los lenguajes naturales contienen ciertas expresiones que cumplen un rol en los mismos.
Se trata de lo que algunos denominan "expresiones derivativas", o "expresiones indicadoras" cuyo significado es señalar el papel de algunas proposiciones en el argumento.
Por ejemplo, si venimos diciendo algo -aduciendo ciertas razones- y luego decimos "por lo tanto lo que usted dice no es cierto", la frase "por lo tanto" es una expresión derivativa, que se conoce como "indicador de conclusión".
Un típico indicador de premisas es "porque" expresado luego de la conclusión.
Razonamientos deductivos y no deductivos
Si tomamos la definición amplia de razonamiento que hemos dado, que es la más frecuentemente adoptada, hemos de señalar que existen dos grandes tipos de razonamientos diferenciados por el modo como combinan sus dos componentes formales: premisas y conclusión.
En los razonamientos deductivos, también llamados válidos o correctos, las premisas ofrecen un fundamento completo a la conclusión, pero sólo cuando las premisas son verdaderas.
Si ello es el caso, siempre la conclusión es verdadera.
Se dice que en un razonamiento deductivo la conclusión se sigue de manera necesaria de las premisas. O bien que se deduce de ellas (o ella). También se puede decir que en todo razonamiento deductivo las premisas implican la conclusión.
Los razonamientos no deductivos -que algunos estudiosos de la lógica denominan inferencias para destacar su carácter no conclusivo- son aquellos en los cuales la relación entre premisas y conclusión es de probabilidad.
Algunos tipos de razonamientos inductivos son los argumentos abductivos y los inductivos, en los que la verdad de las premisas no determina la verdad de la conclusión.
Los lógicos dicen que ofrecen algún fundamento a la conclusión, una probabilidad lógica.
En los razonamientos deductivos, también llamados válidos o correctos, las premisas ofrecen un fundamento completo a la conclusión, pero sólo cuando las premisas son verdaderas.
Si ello es el caso, siempre la conclusión es verdadera.
Se dice que en un razonamiento deductivo la conclusión se sigue de manera necesaria de las premisas. O bien que se deduce de ellas (o ella). También se puede decir que en todo razonamiento deductivo las premisas implican la conclusión.
Los razonamientos no deductivos -que algunos estudiosos de la lógica denominan inferencias para destacar su carácter no conclusivo- son aquellos en los cuales la relación entre premisas y conclusión es de probabilidad.
Algunos tipos de razonamientos inductivos son los argumentos abductivos y los inductivos, en los que la verdad de las premisas no determina la verdad de la conclusión.
Los lógicos dicen que ofrecen algún fundamento a la conclusión, una probabilidad lógica.
Dos sentidos de razonamiento en lógica
Es importante desambiguar dos sentidos de "razonamiento" que se emplean dentro de la lógica en diferente bibilografía sobre el tema.
Tomando cualquier definición, por ejemplo la siguiente:
Razonamiento es un argumento en el que se afirma algo (conocido como conclusión) a partir de una o más proposiciones, que reciben el nombre de premisas.
Aquí la expresión "a partir de" es ambigua, malamente ambigua, pues no alcanza a captar el significado del término razonamiento.
Sustituyámosla por la siguiente definición 2: "Un razonamiento es un argumento en el que se afirma una proposición, llamada conclusión, a partir de otra u otras que se aducen para darle fundamento".
Esta definición está mejor. Podemos llamarla definición amplia o en sentido amplio de "razonamiento". ¿Por qué?
Porque para algunos lógicos y expertos de la lógica los auténticos razonamientos son los de la lógica deductiva. En tal caso, un argumento en el que las premisas "se aducen" pero infructuosamente para justificar o fundamentar (completamente) la conclusión no será considerado un razonamiento.
Para estos casos, quienes mantienen este criterio restrictivo o fuerte de razonamiento tiener reservada la palabra "inferencia".
En consecuencia, para ellos un argumento inductivo es una inferencia, puiendo discutirse si existe algún valor en el pasaje inductivo de premisas a conclusión.
Si adoptamos este criterio, entonces debemos admitir que un razonamiento es "un argumento en el que se afirma una proposición, llamada conclusión, a partir de otra u otras que le dan fundamento".
Diferencia entre verdad y validez
En lógica simbólica, las nociones de verdad y de validez son claramente diferentes.
La verdad es una noción semática que alude a una relación entre una expresión y un estado de cosas.
Si tomamos una forma proposicional, como ésta no posee significado semántico referido al mundo -aunque sí significado lógico-, la verdad se refiere a posibilidades, a la posibilidad de ser verdadera en interpretaciones eventuales.
Por ejemplo, p y q, será verdadera en toda interpretación donde p sea verdadera y q también sea verdadera, y sólo en ese caso.
Otra forma de decirlo es que esa forma proposicional será verdadera en todo mundo posible donde p por un lado y q por otro sean verdaderas.
Una tautología, entonces, es una expresión verdadera en todo mundo posible, lo que significa que es imposible que haya una interpretación (bajo el principio de no contradicción) en la que sea falsa.
La validez en cambio es una propiedad formal de una forma o estructura de razonamiento, definida como la imposibilidad de que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa para cualquier interpretación posible bajo el principio de no contradicción.
La verdad es una noción semática que alude a una relación entre una expresión y un estado de cosas.
Si tomamos una forma proposicional, como ésta no posee significado semántico referido al mundo -aunque sí significado lógico-, la verdad se refiere a posibilidades, a la posibilidad de ser verdadera en interpretaciones eventuales.
Por ejemplo, p y q, será verdadera en toda interpretación donde p sea verdadera y q también sea verdadera, y sólo en ese caso.
Otra forma de decirlo es que esa forma proposicional será verdadera en todo mundo posible donde p por un lado y q por otro sean verdaderas.
Una tautología, entonces, es una expresión verdadera en todo mundo posible, lo que significa que es imposible que haya una interpretación (bajo el principio de no contradicción) en la que sea falsa.
La validez en cambio es una propiedad formal de una forma o estructura de razonamiento, definida como la imposibilidad de que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa para cualquier interpretación posible bajo el principio de no contradicción.
¿Qué son los valores de verdad?
La expresión "tener valor de verdad" no debe ser confundida con "ser verdadero".
Una oración descriptiva, que es formulada en lenguaje informativo para representar o describir algo posee valor de verdad.
Los valores de verdad dos dos: verdadero y falso. Estos se basan en el principio lógico de no contradicción, que establece la imposibilidad de p y -p al mismo tiempo.
Por ejemplo, es imposible que usted esté leyendo y no esté leyendo esto al mismo tiempo.
Los valores de verdad son algo así como evaluaciones que hacemos de las oraciones en virtud de una relación, por lo que son conceptos semáticos.
Hay una relación porque cuando describimos algo ("esta mesa es de madera", por ejemplo) determinamos dos dominios o ámbitos diferentes: el ámbito del lenguaje y el de aquello que designa el lenguaje.
La semántica estudia precisamente la relación que se presenta entre el lenguaje y aquello que describe.
Entonces, que una oración tenga uno u otro valor de verdad depende de la relación entre ella y aquello que designa o refiere. La oración "esta mesa es de madera" será verdadera si la mesa, el objeto que designa, es realmente de madera.
Pero si digo esto mismo respecto de una mesa que es de hierro, entonces la oración es falsa, no hay correspondencia entre la oración y aquello que designa.
Dijimos que el hecho de que una oración tenga uno u otro valor de verdad depende de la relación semántica establecida, pero eso no es lo mismo que decir "que una oración tenga valor de verdad depende de la relación con aquello que designa". Pues la oración, si es descriptiva, tiene valor de verdad independientemente de si se cumple una u otra relación.
Y tiene valor de verdad independientemente de si lo sabemos.
Y tiene valor de verdad independientemente de si lo podemos llegar a saber o no.
Una oración descriptiva, que es formulada en lenguaje informativo para representar o describir algo posee valor de verdad.
Los valores de verdad dos dos: verdadero y falso. Estos se basan en el principio lógico de no contradicción, que establece la imposibilidad de p y -p al mismo tiempo.
Por ejemplo, es imposible que usted esté leyendo y no esté leyendo esto al mismo tiempo.
Los valores de verdad son algo así como evaluaciones que hacemos de las oraciones en virtud de una relación, por lo que son conceptos semáticos.
Hay una relación porque cuando describimos algo ("esta mesa es de madera", por ejemplo) determinamos dos dominios o ámbitos diferentes: el ámbito del lenguaje y el de aquello que designa el lenguaje.
La semántica estudia precisamente la relación que se presenta entre el lenguaje y aquello que describe.
Entonces, que una oración tenga uno u otro valor de verdad depende de la relación entre ella y aquello que designa o refiere. La oración "esta mesa es de madera" será verdadera si la mesa, el objeto que designa, es realmente de madera.
Pero si digo esto mismo respecto de una mesa que es de hierro, entonces la oración es falsa, no hay correspondencia entre la oración y aquello que designa.
Dijimos que el hecho de que una oración tenga uno u otro valor de verdad depende de la relación semántica establecida, pero eso no es lo mismo que decir "que una oración tenga valor de verdad depende de la relación con aquello que designa". Pues la oración, si es descriptiva, tiene valor de verdad independientemente de si se cumple una u otra relación.
Y tiene valor de verdad independientemente de si lo sabemos.
Y tiene valor de verdad independientemente de si lo podemos llegar a saber o no.
Significado de las conectivas lógicas
Las conectivas de la lógica son operadores de proposiciones, que precisamente por afectarlas de manera diferente poseen un significado diferenciado.
Si bien la lógica es una disciplina o ciencia formal, por ejemplo un cuantificador de la lógica de predicados o una conectiva lógica como la conjunción poseen significado.
Por ejemplo, si se tiene p y q, estas letras proposicionales representan proposiciones que están conectadas por la expresión del español "y", y esa conectiva se llama conjunción.
¿Cuál es su significado? Esta conectiva afirma la ocurrencia simultánea de aquellas dos partes que une. O sea, significa que se cumplen p y q al mismo tiempo, y no otra cosa.
Por ejemplo, si decimos "es verano y todavía no hace calor", esa expresión se simboliza en lógica proposicional como señalamos anteriormente.
En este caso, la conectiva referida por la palabra "y" señala que ambas cosas ocurren simultáneamente.
Para que esta oración tenga el valor de verdad "verdadero" tiene que ocurrir sí o sí que sea verdadera "es verano" y sea verdadera "todavía no hace calor". En cualquier otro caso la oración será falsa.
Esto capta precisamente el significado de la conectiva, ésta señala que al relacionar ambas proposiciones atómicas de ese modo, sólo puede ser verdadera la expresión en el caso señalado.
Si bien la lógica es una disciplina o ciencia formal, por ejemplo un cuantificador de la lógica de predicados o una conectiva lógica como la conjunción poseen significado.
Por ejemplo, si se tiene p y q, estas letras proposicionales representan proposiciones que están conectadas por la expresión del español "y", y esa conectiva se llama conjunción.
¿Cuál es su significado? Esta conectiva afirma la ocurrencia simultánea de aquellas dos partes que une. O sea, significa que se cumplen p y q al mismo tiempo, y no otra cosa.
Por ejemplo, si decimos "es verano y todavía no hace calor", esa expresión se simboliza en lógica proposicional como señalamos anteriormente.
En este caso, la conectiva referida por la palabra "y" señala que ambas cosas ocurren simultáneamente.
Para que esta oración tenga el valor de verdad "verdadero" tiene que ocurrir sí o sí que sea verdadera "es verano" y sea verdadera "todavía no hace calor". En cualquier otro caso la oración será falsa.
Esto capta precisamente el significado de la conectiva, ésta señala que al relacionar ambas proposiciones atómicas de ese modo, sólo puede ser verdadera la expresión en el caso señalado.
Tablas de verdad ¿qué son?
El método de las tablas de verdad es un procedimiento que se emplea en lógica proposicional para exhibir todos los posibles valores de verdad que puede adoptar una forma proposicional.
Como los valores de verdad son dos, cada elemento constitutivo de una forma proposicional tendrá un valor de verdad: las letras proposicionales y las conectivas, y bajo la conectiva principal aparecerá el valor para cada caso de sustitución.
El caso de sustitución es una única asignación de valores de verdad para las letras proposicionales. Por ejemplo, supóngase que se tiene p y q. En esta situación, un caso de sustitución será cuando p es verdadera y q verdadera, otro caso de sustitución es cuando p es falsa pero q verdadera, y así con las cuatro posibilidades.
El resultado de la tabla de verdad contará, entonces con el total de las posibilidades expresadas en cuatro filas, cuyo resultado para cada fila estará bajo la conectiva principal, que en este caso es la "conjunción" y dependerá de la tabla o el significado de la propia conectiva.
Como los valores de verdad son dos, cada elemento constitutivo de una forma proposicional tendrá un valor de verdad: las letras proposicionales y las conectivas, y bajo la conectiva principal aparecerá el valor para cada caso de sustitución.
El caso de sustitución es una única asignación de valores de verdad para las letras proposicionales. Por ejemplo, supóngase que se tiene p y q. En esta situación, un caso de sustitución será cuando p es verdadera y q verdadera, otro caso de sustitución es cuando p es falsa pero q verdadera, y así con las cuatro posibilidades.
El resultado de la tabla de verdad contará, entonces con el total de las posibilidades expresadas en cuatro filas, cuyo resultado para cada fila estará bajo la conectiva principal, que en este caso es la "conjunción" y dependerá de la tabla o el significado de la propia conectiva.
Método del condicional asociado
En lógica proposicional, el método del condicional asociado es una prueba de validez.
Esto es, un procedimiento para determinar si una forma proposicional es válida o no lo es.
Este método es mecánico y se basa en el método de las tablas de verdad, que consiste en la explicitación de todos los posibles valores de verdad que puede adoptar una forma proposicional de acuerdo con el significado de las conectivas que en ella aparezcan y los posibles valores de las letras proposicionales.
El condicional asociado consiste en realizar la tabla de verdad de un condicional que tenga como consecuente la conclusión del razonamiento -o presunto razonamiento- y como antecedente la conjunción de las premisas.
Sencillamente, si se obtiene una tautología al realizar la tabla de verdad de un condicional asociado a un razonamiento se demuestra la validez de esa forma de razonamiento.
Esto es, un procedimiento para determinar si una forma proposicional es válida o no lo es.
Este método es mecánico y se basa en el método de las tablas de verdad, que consiste en la explicitación de todos los posibles valores de verdad que puede adoptar una forma proposicional de acuerdo con el significado de las conectivas que en ella aparezcan y los posibles valores de las letras proposicionales.
El condicional asociado consiste en realizar la tabla de verdad de un condicional que tenga como consecuente la conclusión del razonamiento -o presunto razonamiento- y como antecedente la conjunción de las premisas.
Sencillamente, si se obtiene una tautología al realizar la tabla de verdad de un condicional asociado a un razonamiento se demuestra la validez de esa forma de razonamiento.
Diferentes sentidos de "contradicción"
La expresión "contradicción" suele emplearse con diversos sentidos en lógica y axiomática. Recordemos que la lógica clásica es bivalente, o sea que asume que una determinada proposición -simple o compleja- puede adoptar dos valores de verdad: verdadero y falso.
Cuando decimos "hay una contradicción" podemos decir, por ejemplo, que una expresión es autocontradictoria, como "el triángulo de cuatro lados" o "la aguja se mueve y está quieta al mismo tiempo". Estas oraciones son autocontradictorias por diferentes razones: la segunda en virtud de su forma lógica (su tabla de verdad revela que todo caso de sustitución de valores de verdad es falso), la segunda por razones semánticas: el significado del sujeto de la oración es tal que con ese predicado nunca es verdadera la oración, siempre es falsa.
Este sentido de falsedad para todos los casos posibles de una oración es diferente del sentido estándar de la palabra contradicción, que se refiere a una cierta relación lógica entre dos proposiciones.
Puede hacerse una analogía entre estas dos oraciones y las clásicas oraciones o "jucios" analíticos en virtud de su forma lógica y analíticos en sentido amplio, por razones semánticas (la famosa oración de Quine "ningún soltero es casado"), ya que se justifican del mismo modo, sólo que las anteriores son siempre falsas. Hasta aquí hablamos de una única oración.
También podemos decir que existe una relación lógica de contradictoriedad, entendida de modo formal pero entre dos diferentes expresiones, como ocurre con las proposiciones p y -p, o bien con las fórmulas A y -A, donde vemos que se afirma algo y al mismo tiempo se afirma su negación, expresada con la conectiva lógica "-".
Asimismo, "contradicción" puede señalar una incompatibilidad o contrariedad. Esta a su vez puede obedecer a la estructura lógica de dos formas proposicionales, por ejemplo p y q , p y -q.
Pero también puede haber incompatibilidad de acuerdo con el significado de las proposiciones, como cuando ocurre con "Juan está en Europa" y "Juan está en Canadá", que no pueden ser verdaderas al mismo tiempo.
Finalmente, también se puede hablar de contradicción en un sistema axiomático formal, en el sentido de la contradictoriedad formal, o en el sentido de que para cualquier interpretación los axiomas no puede ser todos verdaderos simultáneamente.
Cuando decimos "hay una contradicción" podemos decir, por ejemplo, que una expresión es autocontradictoria, como "el triángulo de cuatro lados" o "la aguja se mueve y está quieta al mismo tiempo". Estas oraciones son autocontradictorias por diferentes razones: la segunda en virtud de su forma lógica (su tabla de verdad revela que todo caso de sustitución de valores de verdad es falso), la segunda por razones semánticas: el significado del sujeto de la oración es tal que con ese predicado nunca es verdadera la oración, siempre es falsa.
Este sentido de falsedad para todos los casos posibles de una oración es diferente del sentido estándar de la palabra contradicción, que se refiere a una cierta relación lógica entre dos proposiciones.
Puede hacerse una analogía entre estas dos oraciones y las clásicas oraciones o "jucios" analíticos en virtud de su forma lógica y analíticos en sentido amplio, por razones semánticas (la famosa oración de Quine "ningún soltero es casado"), ya que se justifican del mismo modo, sólo que las anteriores son siempre falsas. Hasta aquí hablamos de una única oración.
También podemos decir que existe una relación lógica de contradictoriedad, entendida de modo formal pero entre dos diferentes expresiones, como ocurre con las proposiciones p y -p, o bien con las fórmulas A y -A, donde vemos que se afirma algo y al mismo tiempo se afirma su negación, expresada con la conectiva lógica "-".
Asimismo, "contradicción" puede señalar una incompatibilidad o contrariedad. Esta a su vez puede obedecer a la estructura lógica de dos formas proposicionales, por ejemplo p y q , p y -q.
Pero también puede haber incompatibilidad de acuerdo con el significado de las proposiciones, como cuando ocurre con "Juan está en Europa" y "Juan está en Canadá", que no pueden ser verdaderas al mismo tiempo.
Finalmente, también se puede hablar de contradicción en un sistema axiomático formal, en el sentido de la contradictoriedad formal, o en el sentido de que para cualquier interpretación los axiomas no puede ser todos verdaderos simultáneamente.
Relaciones lógicas entre formas proposicionales
En lógica proposicional se presentan relaciones lógicas entre formas proposicionales.
Típicamente las relaciones que puede haber entre un par de formas proposicionales son contradictoriedad, contrariedad o incompatibilidad, implicación, subcontrariedad y equivalencia lógica.
Dos formas proposicionales son contradictorias cuando es imposible que sean verdaderas al mismo tiempo en cualquier caso de sustitución y, además, es imposible que sean falsas al mismo tiempo.
Técnicamente, para ningún caso de sustitución de la tabla de verdad de las mismas ocurre que ambas son verdaderas ni ocurre que ambas son falsas.
Otra definición: dadas dos fórmulas proposicionales A y B, no pueden ser simultáneamente verdaderas ni pueden ser falsas simultáneamente.
Otra definición: dos formas proposicionales son contradictorias si y sólo si cuando una es verdadera la otra es falsa.
Dos formas proposicionales son contrarias (o incompatibles) cuando no pueden ser verdaderas simultáneamente en ninguna interpretación (o caso de sustitución) pero sí falsas.
Otra definición: son contrarias cuando no son ambas verdaderas en ningún caso de sutitución de la tabla de verdad pero sí falsas en algún caso.
Esta definición es diferente de la equivocada "dos formas proposicionales son contrarias cuando no pueden ser simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución", pues esta es equivalente (bajo el supuesto de que la lógica es bivalente, o sea del principio de no contradicción) a "dos formas proposicionales son contrarias cuando no son simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución".
Pero si se toman dos formas proposicionales A y -A (no A), se satisface la segunda definición, por lo que estas contradictorias serían también contrarias.
Pero la contradictoriedad significa que ambas no pueden ser simultáneamente verdaderas ni tampoco simultáneamente falsas, por lo que si siendo contrarias son también contradictorias, entonces tampoco pueden ser simultáneamente falsas, y ya no hay diferencia entre contrariedad y contradictoriedad.
Una forma proposicional implica a otra si no puede ocurrir que la primera sea verdadera y la segunda sea falsa. O sea, si no ocurre en ningún caso de sustitución que la primera sea verdadera y la segunda falsa.
Dos formas proposicionales son lógicamente equivalentes cuando se implican mutuamente. En consecuencia, no habrá ningún caso de sustitución en el que sean ambas verdaderas ni tampoco algún caso en que sean ambas falsas.
Dos formas proposicionales son subcontrarias cuando no pueden ser ambas falsas simultáneamente pero sí verdaderas. O sea, no son falsas simultáneamente en ningún caso de sustitución, pero hay al menos un caso en que son ambas verdaderas.
Típicamente las relaciones que puede haber entre un par de formas proposicionales son contradictoriedad, contrariedad o incompatibilidad, implicación, subcontrariedad y equivalencia lógica.
Dos formas proposicionales son contradictorias cuando es imposible que sean verdaderas al mismo tiempo en cualquier caso de sustitución y, además, es imposible que sean falsas al mismo tiempo.
Técnicamente, para ningún caso de sustitución de la tabla de verdad de las mismas ocurre que ambas son verdaderas ni ocurre que ambas son falsas.
Otra definición: dadas dos fórmulas proposicionales A y B, no pueden ser simultáneamente verdaderas ni pueden ser falsas simultáneamente.
Otra definición: dos formas proposicionales son contradictorias si y sólo si cuando una es verdadera la otra es falsa.
Dos formas proposicionales son contrarias (o incompatibles) cuando no pueden ser verdaderas simultáneamente en ninguna interpretación (o caso de sustitución) pero sí falsas.
Otra definición: son contrarias cuando no son ambas verdaderas en ningún caso de sutitución de la tabla de verdad pero sí falsas en algún caso.
Esta definición es diferente de la equivocada "dos formas proposicionales son contrarias cuando no pueden ser simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución", pues esta es equivalente (bajo el supuesto de que la lógica es bivalente, o sea del principio de no contradicción) a "dos formas proposicionales son contrarias cuando no son simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución".
Pero si se toman dos formas proposicionales A y -A (no A), se satisface la segunda definición, por lo que estas contradictorias serían también contrarias.
Pero la contradictoriedad significa que ambas no pueden ser simultáneamente verdaderas ni tampoco simultáneamente falsas, por lo que si siendo contrarias son también contradictorias, entonces tampoco pueden ser simultáneamente falsas, y ya no hay diferencia entre contrariedad y contradictoriedad.
Una forma proposicional implica a otra si no puede ocurrir que la primera sea verdadera y la segunda sea falsa. O sea, si no ocurre en ningún caso de sustitución que la primera sea verdadera y la segunda falsa.
Dos formas proposicionales son lógicamente equivalentes cuando se implican mutuamente. En consecuencia, no habrá ningún caso de sustitución en el que sean ambas verdaderas ni tampoco algún caso en que sean ambas falsas.
Dos formas proposicionales son subcontrarias cuando no pueden ser ambas falsas simultáneamente pero sí verdaderas. O sea, no son falsas simultáneamente en ningún caso de sustitución, pero hay al menos un caso en que son ambas verdaderas.
