La relación lógica de subcontrariedad, respecto de la lógica proposicional, puede ser definida del siguiente modo:
Dos formas proposicionales o fórmulas son subcontrarias si no puede ocurrir que ambas sean falsas al mismo tiempo, aunque sí verdaderas.
O con esta otra definición:
Dos formas proposicionales son subcontrarias si no son ambas falsas en ninguno de los casos de sustitución de valores de verdad de las proposiciones atómicas que las integran.
¿Qué se gana y qué se pierde al adoptar una u otra definición? Esa es una interesante pregunta que intentaremos responder en otro post.
Por ejemplo, "p o q" y "no p y q" guardan esa relación, como veremos en este auténtico ejemplo de la relación lógica de subcontrariedad:
"Vienes a mi casa o vamos a la tuya" y "No es cierto que vienes a mi casa y vamos a la tuya" cumplen esta singular relación. En la primera oración nos encontramos con una proposición que es una disyunción inclusiva, entre dos proposiciones simples o también denominadas atómicas. La segunda oración es una negación. Si se simboliza mediante una de las más difundidas formas de expresar gráficamente las conectivas de la lógica proposicional, quedarían así las dos proposiciones moleculares:
p v q - (p . q)
que se leen como figura entre las comillas en la oración que comienza con "Por ejemplo,". Si se comparan las tablas de verdad de las dos fórmulas, se advierte que bajo ninguno de los casos de sustitución de valores de verdad de las proposiciones simples ocurre que ambas expresiones sean falsas (aunque hay un caso en el que ambas son verdaderas (será verdadero para ambas fórmulas en el resultado de la tabla de verdad en una misma fila).
Haz la tabla de verdad, practicad hijo.
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Las formas proposicionales como expresiones veritativo funcionales
Analizaremos cómo las formas proposicionales son fórmulas veritativo funcionales, o sea, de qué modo son susceptibles de adoptar uno u otro valor de verdad según las proposiciones simples que contengan sean verdaderas o falsas y según el significado de las conectivas que las unen.
Dentro de la lógica simbólica, que se vale de símbolos para analizar razonamientos y sus partes, se encuentra la lógica proposicional.
La lógica proposicional simboliza, generalmente con letras minúsculas del alfabeto (p, q, r, s, por ejemplo) las denominadas proposiciones simples o atómicas que constituyen las partes de ciertas oraciones más complejas.
Por ejemplo, en la oración "llueve y hace frío" nos encontramos con dos proposiciones simples ("llueve" es una y la otra "hace frío") que se encuentran unidas por una conectiva lógica llamada conjunción.
En este caso, al simbolizar la oración a partir de sus proposiciones componentes y el modo cómo se unen obtenemos una expresión que se denomina forma proposicional, y a veces algo equívocamente forma de enunciado.
En la nomenclatura habitual de la lógica proposicional se simbolizaría
p . q (que se lle " p y q"), siendo el puntito el símbolo de la mencionada conjunción.
Naturalmente, una forma proposicional puede ser más compleja, como la que resultaría de simbolizar las proposiciones atómicas de "si no llueve ni hace frío voy a tu casa o al cine", por ejemplo. Pero dejaremos para otra ocasión la simbolización para intentar clarificar el significado y alcance de una forma proposicional.
Se dice que éstas son expresiones "veritativo funcionales", o que una forma proposicional es funcion de verdad de las proposiciones simples o atómicas que contiene y del significado de las conectivas lógicas que las vinculan.
Esto puede parecer complejo, pero no lo es realmente. Que una cierta forma proposicional es tal mencionada cosa significa que su valor de verdad (que "llueve y hace frío" sea una expresión verdadera o falsa dependerá de dos cosas: si sus elementos componentes son verdaderos o falsos (p y q respectivamente) y del significado de las conectivas que las vinculan.
El significado de la conjunción es que es verdadera únicamente cuando las dos partes que une son verdaderas.
Por ejemplo, la oración "el la Luna es un satélite y gira alrededor de marte" es una oración falsa, porque "la Luna es un satélite" es verdadera (sería p) pero "la Luna gira alrededor de Marte" es una proposición simple falsa, por lo que la conjunción es falsa. "una silla es un mueble y tiene patas" es una oración verdadera.
Entonces dada cualquier forma proposicional de la forma "p . q", ella sólo será verdadera cuando p, sea lo que fuere que simbolice, es verdadera y q también. En cualquier otro caso será falsa (Verdadero/Falso; Falso/Verdadero; Falso/Falso).
Diferentes formas proposicionales, con diferente estructura interna y diferentes conectivas tendrán distintos modos de poder ser verdaderas o falsas, dependiendo de los dos aspectos mencionados, pero una vez determinado si p, q, r, etc. son verdaderas o falsas y una vez advertidas las conectivas que las unen (cuyo significados los lógicos conocen y los estudiantes deben asimilar), queda determinado por completo el valor de verdad de la expresión total.
Dentro de la lógica simbólica, que se vale de símbolos para analizar razonamientos y sus partes, se encuentra la lógica proposicional.
La lógica proposicional simboliza, generalmente con letras minúsculas del alfabeto (p, q, r, s, por ejemplo) las denominadas proposiciones simples o atómicas que constituyen las partes de ciertas oraciones más complejas.
Por ejemplo, en la oración "llueve y hace frío" nos encontramos con dos proposiciones simples ("llueve" es una y la otra "hace frío") que se encuentran unidas por una conectiva lógica llamada conjunción.
En este caso, al simbolizar la oración a partir de sus proposiciones componentes y el modo cómo se unen obtenemos una expresión que se denomina forma proposicional, y a veces algo equívocamente forma de enunciado.
En la nomenclatura habitual de la lógica proposicional se simbolizaría
p . q (que se lle " p y q"), siendo el puntito el símbolo de la mencionada conjunción.
Naturalmente, una forma proposicional puede ser más compleja, como la que resultaría de simbolizar las proposiciones atómicas de "si no llueve ni hace frío voy a tu casa o al cine", por ejemplo. Pero dejaremos para otra ocasión la simbolización para intentar clarificar el significado y alcance de una forma proposicional.
Se dice que éstas son expresiones "veritativo funcionales", o que una forma proposicional es funcion de verdad de las proposiciones simples o atómicas que contiene y del significado de las conectivas lógicas que las vinculan.
Esto puede parecer complejo, pero no lo es realmente. Que una cierta forma proposicional es tal mencionada cosa significa que su valor de verdad (que "llueve y hace frío" sea una expresión verdadera o falsa dependerá de dos cosas: si sus elementos componentes son verdaderos o falsos (p y q respectivamente) y del significado de las conectivas que las vinculan.
El significado de la conjunción es que es verdadera únicamente cuando las dos partes que une son verdaderas.
Por ejemplo, la oración "el la Luna es un satélite y gira alrededor de marte" es una oración falsa, porque "la Luna es un satélite" es verdadera (sería p) pero "la Luna gira alrededor de Marte" es una proposición simple falsa, por lo que la conjunción es falsa. "una silla es un mueble y tiene patas" es una oración verdadera.
Entonces dada cualquier forma proposicional de la forma "p . q", ella sólo será verdadera cuando p, sea lo que fuere que simbolice, es verdadera y q también. En cualquier otro caso será falsa (Verdadero/Falso; Falso/Verdadero; Falso/Falso).
Diferentes formas proposicionales, con diferente estructura interna y diferentes conectivas tendrán distintos modos de poder ser verdaderas o falsas, dependiendo de los dos aspectos mencionados, pero una vez determinado si p, q, r, etc. son verdaderas o falsas y una vez advertidas las conectivas que las unen (cuyo significados los lógicos conocen y los estudiantes deben asimilar), queda determinado por completo el valor de verdad de la expresión total.
