La contrariedad es entendida en lógica de más de un modo. En general, esta relación se emplea como sinónima de incompatiblidad y es una de las más conocidas relaciones lógicas.
En lógica proposicional y en la lógica clásica se entiende la incompatibilidad como una relación entre dos formas proposicionales tal que no pueden ser ambas simultáneamente verdaderas.
Por ejemplo, p y q por un lado y p y -q por otro son contrarias o incompatibles, pues sean tanto p como q verdaderas o falsas no habrá nunca un caso de sustitución de valores de verdad en que ambas sean verdaderas, como puede probarse mostrando sus tablas de verdad.
También se puede entender la contrariedad a partir del significado de las oraciones. Por ejemplo, si tenemos las expresiones "hoy es martes" y "hoy es jueves" ambas no pueden ser verdaderas simultáneamente, en virtud de su significado. Habrá días en que alguna es verdadera, pero la otra no.
El sábado serán ambas falsas, por lo que en ese día son ambas falsas simultáneamente.
Sin embargo, para hablar de la falsedad simultánea de las dos formas proposicionales de arriba habría que decir que lo son en el caso de que tanto p como q sean falsas.
La cuestión no es trivial, porque muchos escritores de lógica olvidan a menudo (e incluso afirman lo contrario declarando que es "puramente sintáctica") que la lógica tiene significado, comenzando por sus conectivas.
Mostrando entradas con la etiqueta DEFINICIONES. Mostrar todas las entradas
Mostrando entradas con la etiqueta DEFINICIONES. Mostrar todas las entradas
Diferentes sentidos de "contradicción"
La expresión "contradicción" suele emplearse con diversos sentidos en lógica y axiomática. Recordemos que la lógica clásica es bivalente, o sea que asume que una determinada proposición -simple o compleja- puede adoptar dos valores de verdad: verdadero y falso.
Cuando decimos "hay una contradicción" podemos decir, por ejemplo, que una expresión es autocontradictoria, como "el triángulo de cuatro lados" o "la aguja se mueve y está quieta al mismo tiempo". Estas oraciones son autocontradictorias por diferentes razones: la segunda en virtud de su forma lógica (su tabla de verdad revela que todo caso de sustitución de valores de verdad es falso), la segunda por razones semánticas: el significado del sujeto de la oración es tal que con ese predicado nunca es verdadera la oración, siempre es falsa.
Este sentido de falsedad para todos los casos posibles de una oración es diferente del sentido estándar de la palabra contradicción, que se refiere a una cierta relación lógica entre dos proposiciones.
Puede hacerse una analogía entre estas dos oraciones y las clásicas oraciones o "jucios" analíticos en virtud de su forma lógica y analíticos en sentido amplio, por razones semánticas (la famosa oración de Quine "ningún soltero es casado"), ya que se justifican del mismo modo, sólo que las anteriores son siempre falsas. Hasta aquí hablamos de una única oración.
También podemos decir que existe una relación lógica de contradictoriedad, entendida de modo formal pero entre dos diferentes expresiones, como ocurre con las proposiciones p y -p, o bien con las fórmulas A y -A, donde vemos que se afirma algo y al mismo tiempo se afirma su negación, expresada con la conectiva lógica "-".
Asimismo, "contradicción" puede señalar una incompatibilidad o contrariedad. Esta a su vez puede obedecer a la estructura lógica de dos formas proposicionales, por ejemplo p y q , p y -q.
Pero también puede haber incompatibilidad de acuerdo con el significado de las proposiciones, como cuando ocurre con "Juan está en Europa" y "Juan está en Canadá", que no pueden ser verdaderas al mismo tiempo.
Finalmente, también se puede hablar de contradicción en un sistema axiomático formal, en el sentido de la contradictoriedad formal, o en el sentido de que para cualquier interpretación los axiomas no puede ser todos verdaderos simultáneamente.
Cuando decimos "hay una contradicción" podemos decir, por ejemplo, que una expresión es autocontradictoria, como "el triángulo de cuatro lados" o "la aguja se mueve y está quieta al mismo tiempo". Estas oraciones son autocontradictorias por diferentes razones: la segunda en virtud de su forma lógica (su tabla de verdad revela que todo caso de sustitución de valores de verdad es falso), la segunda por razones semánticas: el significado del sujeto de la oración es tal que con ese predicado nunca es verdadera la oración, siempre es falsa.
Este sentido de falsedad para todos los casos posibles de una oración es diferente del sentido estándar de la palabra contradicción, que se refiere a una cierta relación lógica entre dos proposiciones.
Puede hacerse una analogía entre estas dos oraciones y las clásicas oraciones o "jucios" analíticos en virtud de su forma lógica y analíticos en sentido amplio, por razones semánticas (la famosa oración de Quine "ningún soltero es casado"), ya que se justifican del mismo modo, sólo que las anteriores son siempre falsas. Hasta aquí hablamos de una única oración.
También podemos decir que existe una relación lógica de contradictoriedad, entendida de modo formal pero entre dos diferentes expresiones, como ocurre con las proposiciones p y -p, o bien con las fórmulas A y -A, donde vemos que se afirma algo y al mismo tiempo se afirma su negación, expresada con la conectiva lógica "-".
Asimismo, "contradicción" puede señalar una incompatibilidad o contrariedad. Esta a su vez puede obedecer a la estructura lógica de dos formas proposicionales, por ejemplo p y q , p y -q.
Pero también puede haber incompatibilidad de acuerdo con el significado de las proposiciones, como cuando ocurre con "Juan está en Europa" y "Juan está en Canadá", que no pueden ser verdaderas al mismo tiempo.
Finalmente, también se puede hablar de contradicción en un sistema axiomático formal, en el sentido de la contradictoriedad formal, o en el sentido de que para cualquier interpretación los axiomas no puede ser todos verdaderos simultáneamente.
Relaciones lógicas entre formas proposicionales
En lógica proposicional se presentan relaciones lógicas entre formas proposicionales.
Típicamente las relaciones que puede haber entre un par de formas proposicionales son contradictoriedad, contrariedad o incompatibilidad, implicación, subcontrariedad y equivalencia lógica.
Dos formas proposicionales son contradictorias cuando es imposible que sean verdaderas al mismo tiempo en cualquier caso de sustitución y, además, es imposible que sean falsas al mismo tiempo.
Técnicamente, para ningún caso de sustitución de la tabla de verdad de las mismas ocurre que ambas son verdaderas ni ocurre que ambas son falsas.
Otra definición: dadas dos fórmulas proposicionales A y B, no pueden ser simultáneamente verdaderas ni pueden ser falsas simultáneamente.
Otra definición: dos formas proposicionales son contradictorias si y sólo si cuando una es verdadera la otra es falsa.
Dos formas proposicionales son contrarias (o incompatibles) cuando no pueden ser verdaderas simultáneamente en ninguna interpretación (o caso de sustitución) pero sí falsas.
Otra definición: son contrarias cuando no son ambas verdaderas en ningún caso de sutitución de la tabla de verdad pero sí falsas en algún caso.
Esta definición es diferente de la equivocada "dos formas proposicionales son contrarias cuando no pueden ser simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución", pues esta es equivalente (bajo el supuesto de que la lógica es bivalente, o sea del principio de no contradicción) a "dos formas proposicionales son contrarias cuando no son simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución".
Pero si se toman dos formas proposicionales A y -A (no A), se satisface la segunda definición, por lo que estas contradictorias serían también contrarias.
Pero la contradictoriedad significa que ambas no pueden ser simultáneamente verdaderas ni tampoco simultáneamente falsas, por lo que si siendo contrarias son también contradictorias, entonces tampoco pueden ser simultáneamente falsas, y ya no hay diferencia entre contrariedad y contradictoriedad.
Una forma proposicional implica a otra si no puede ocurrir que la primera sea verdadera y la segunda sea falsa. O sea, si no ocurre en ningún caso de sustitución que la primera sea verdadera y la segunda falsa.
Dos formas proposicionales son lógicamente equivalentes cuando se implican mutuamente. En consecuencia, no habrá ningún caso de sustitución en el que sean ambas verdaderas ni tampoco algún caso en que sean ambas falsas.
Dos formas proposicionales son subcontrarias cuando no pueden ser ambas falsas simultáneamente pero sí verdaderas. O sea, no son falsas simultáneamente en ningún caso de sustitución, pero hay al menos un caso en que son ambas verdaderas.
Típicamente las relaciones que puede haber entre un par de formas proposicionales son contradictoriedad, contrariedad o incompatibilidad, implicación, subcontrariedad y equivalencia lógica.
Dos formas proposicionales son contradictorias cuando es imposible que sean verdaderas al mismo tiempo en cualquier caso de sustitución y, además, es imposible que sean falsas al mismo tiempo.
Técnicamente, para ningún caso de sustitución de la tabla de verdad de las mismas ocurre que ambas son verdaderas ni ocurre que ambas son falsas.
Otra definición: dadas dos fórmulas proposicionales A y B, no pueden ser simultáneamente verdaderas ni pueden ser falsas simultáneamente.
Otra definición: dos formas proposicionales son contradictorias si y sólo si cuando una es verdadera la otra es falsa.
Dos formas proposicionales son contrarias (o incompatibles) cuando no pueden ser verdaderas simultáneamente en ninguna interpretación (o caso de sustitución) pero sí falsas.
Otra definición: son contrarias cuando no son ambas verdaderas en ningún caso de sutitución de la tabla de verdad pero sí falsas en algún caso.
Esta definición es diferente de la equivocada "dos formas proposicionales son contrarias cuando no pueden ser simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución", pues esta es equivalente (bajo el supuesto de que la lógica es bivalente, o sea del principio de no contradicción) a "dos formas proposicionales son contrarias cuando no son simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución".
Pero si se toman dos formas proposicionales A y -A (no A), se satisface la segunda definición, por lo que estas contradictorias serían también contrarias.
Pero la contradictoriedad significa que ambas no pueden ser simultáneamente verdaderas ni tampoco simultáneamente falsas, por lo que si siendo contrarias son también contradictorias, entonces tampoco pueden ser simultáneamente falsas, y ya no hay diferencia entre contrariedad y contradictoriedad.
Una forma proposicional implica a otra si no puede ocurrir que la primera sea verdadera y la segunda sea falsa. O sea, si no ocurre en ningún caso de sustitución que la primera sea verdadera y la segunda falsa.
Dos formas proposicionales son lógicamente equivalentes cuando se implican mutuamente. En consecuencia, no habrá ningún caso de sustitución en el que sean ambas verdaderas ni tampoco algún caso en que sean ambas falsas.
Dos formas proposicionales son subcontrarias cuando no pueden ser ambas falsas simultáneamente pero sí verdaderas. O sea, no son falsas simultáneamente en ningún caso de sustitución, pero hay al menos un caso en que son ambas verdaderas.
Matemáticas y metamatemáticas
La matemática (o matemáticas) es considerada una ciencia formal en tanto se ocupa de entidades o referentes abstractos o ideales, como los números.
Habría que analizar si campos conceptualmente tan diversos como la topología, la aritmética y las geometrías forman parte de una misma disciplina que sea "la matemática".
Como sea, una afirmación sobre las características de ciertos números conocidos como "primos entre sí" es de carácter matemático, pues habla de números.
Pero un análisis sobre qué significa la verdad en matemática está formulado desde un metalenguaje (lenguaje que se refiere a otro lenguaje, conocido éste como lenguaje objeto) y es por tanto una reflexión metamatemática.
Pertenece a la filosofía de las matemáticas la reflexión sobre qué es la verdad en matemáticas o si acaso se puede hablar de tal cosa en este conjunto de disciplinas.
Asimismo, la indagación sobre la consistencia de las matemáticas es de carácter metamatemático, lo mismo que muchas reflexiones que pertenecen al campo de la filosofía de las ciencias formales.
Incluso se podría ir más alla y diferenciar análisis metamatemáticos de estudios metaformales, en el sentido de que su objeto de reflexión no son las matemáticas sino las ciencias formales en general.
Una afirmación formulada desde un discurso metaformal es nuestra pregunta de arriba sobre si, por ejemplo, la topología, la aritmética y las geometrías foman parte de una misma disciplina científica llamada matemática.
Habría que analizar si campos conceptualmente tan diversos como la topología, la aritmética y las geometrías forman parte de una misma disciplina que sea "la matemática".
Como sea, una afirmación sobre las características de ciertos números conocidos como "primos entre sí" es de carácter matemático, pues habla de números.
Pero un análisis sobre qué significa la verdad en matemática está formulado desde un metalenguaje (lenguaje que se refiere a otro lenguaje, conocido éste como lenguaje objeto) y es por tanto una reflexión metamatemática.
Pertenece a la filosofía de las matemáticas la reflexión sobre qué es la verdad en matemáticas o si acaso se puede hablar de tal cosa en este conjunto de disciplinas.
Asimismo, la indagación sobre la consistencia de las matemáticas es de carácter metamatemático, lo mismo que muchas reflexiones que pertenecen al campo de la filosofía de las ciencias formales.
Incluso se podría ir más alla y diferenciar análisis metamatemáticos de estudios metaformales, en el sentido de que su objeto de reflexión no son las matemáticas sino las ciencias formales en general.
Una afirmación formulada desde un discurso metaformal es nuestra pregunta de arriba sobre si, por ejemplo, la topología, la aritmética y las geometrías foman parte de una misma disciplina científica llamada matemática.
Diferencia entre lógica y metalógica
La lógica es entendida, generalmente, como una ciencia formal, en el sentido de que su objeto de estudio, aquello de lo que se ocupa son referentes o entidades de carácter formal o abstracto.
En realidad existen muchas lógicas, de diversa naturaleza y alcance.
Pero si se entiende lógica por aquella disciplina que se ocupa de estudiar la estructura de los razonamientos se advierte que una forma de razonamiento es de carácter formal, en el sentido de que carece de una interpretación definida o, dicho de otro modo, contiene variables (por ejemplo letras proposicionales) susceptibles de adoptar diversos significados, en realidad infinitos.
Por ejemplo si se dice "Todo A es B", "A" y "B" son fórmulas que puede ser sustituidas, en realidad interpretadas, de infinitas maneras. Por ejemplo, "todo madrileño es español" o también "todo cuervo es un ave".
En cambio, la metalógica es una disciplina que tiene por objeto de estudio a la lógica misma: se trata de una metadisciplina, una disciplina que estudia otra disciplina.
En este sentido, por ejemplo, la no contradictoriedad se denomina en un sistema formal consistencia. De modo que la pregunta sobre si la lógica es consistente es propia de la metalógica.
Asimismo, es posible analizar aspectos semánticos de la lógica (por ejemplo de la lógica de orden uno) y en ese sentido la reflexión sobre el significado de las conectivas lógicas será un asunto de la metalógica, o de los metalógicos.
En realidad existen muchas lógicas, de diversa naturaleza y alcance.
Pero si se entiende lógica por aquella disciplina que se ocupa de estudiar la estructura de los razonamientos se advierte que una forma de razonamiento es de carácter formal, en el sentido de que carece de una interpretación definida o, dicho de otro modo, contiene variables (por ejemplo letras proposicionales) susceptibles de adoptar diversos significados, en realidad infinitos.
Por ejemplo si se dice "Todo A es B", "A" y "B" son fórmulas que puede ser sustituidas, en realidad interpretadas, de infinitas maneras. Por ejemplo, "todo madrileño es español" o también "todo cuervo es un ave".
En cambio, la metalógica es una disciplina que tiene por objeto de estudio a la lógica misma: se trata de una metadisciplina, una disciplina que estudia otra disciplina.
En este sentido, por ejemplo, la no contradictoriedad se denomina en un sistema formal consistencia. De modo que la pregunta sobre si la lógica es consistente es propia de la metalógica.
Asimismo, es posible analizar aspectos semánticos de la lógica (por ejemplo de la lógica de orden uno) y en ese sentido la reflexión sobre el significado de las conectivas lógicas será un asunto de la metalógica, o de los metalógicos.
